El sudoku

El sudoku (del japonés “su”, que quiere decir “número” y “doku”, que significa “único”) es hoy en día uno de los pasatiempos más conocidos a nivel mundial. Se trata de un juego de lógica constituido por una cuadrícula de 9x9 celdas (81 en total) que hay completar con números del 1 al 9, de forma que ningún número se repita en una misma fila, columna o subcuadrícula de 3x3, a partir de unas cifras iniciales que sirven de pista. Sus reglas son así de sencillas, lo que no evita que existan numerosos niveles de dificultad, desde los más fáciles hasta aquellos que plantearían un auténtico reto a los mayores aficionados y expertos. Cada sudoku se caracteriza por tener una única solución.

Aunque el sudoku no se popularizó hasta mediados de los años 2000, su origen se sitúa en la segunda mitad del S.XVIII en los “cuadrados latinos” ideados por el matemático suizo Leonhard Euler. Un cuadrado latino es una matriz de “n” x “n” elementos (que Euler decidió que fueran símbolos latinos, de ahí su nombre) en el que cada casilla está ocupada por uno de esos “n” elementos, de manera que cada uno de ellos aparece solo una vez en cada fila y en cada columna.

A finales de los años setenta del S.XX, la compañía norteamericana Dell Puzzles Magazines se fijó en el potencial de estos cuadrados como entretenimiento y decidió empezar a publicarlos tomando para “n” el valor de “9”, con una pequeña diferencia con respecto a los cuadrados de Euler: la cuadrícula sería dividida en nueve bloques con nueve celdas cada uno, en los cuales los números, que abarcarían desde el 1 hasta el 9, tampoco se podrían repetir. El nuevo pasatiempo recibió el nombre “Number place” (traducido: “el lugar del número”).

En los años siguientes su éxito desembocó en un importante aumento de las publicaciones, algunas incluso dedicadas exclusivamente al pasatiempo. En los ochenta llegó a Japón, donde tuvo una gran acogida y recibió el nombre por el que es más conocido hoy en día: “sudoku”.

Aunque el interés decayó durante algunos años, la casualidad quiso que un juez neozelandés, Wayne Gould, se cruzara con un libro de sudokus en una librería de Tokio. Quedó tan fascinado con el pasatiempo que decidió pasar los años siguientes tratando de crear un programa informático que fuera capaz de generarlos. Tras una exitosa publicación en un periódico local, su mujer Gaye, profesora de Lingüística, propuso en un viaje a Londres la entrega de varios sudokus al periódico británico The Times. Su gran recepción significó el pistoletazo de salida para un juego que en pocos años se extendería por todo el mundo.

Con el paso de los años, la popularidad del pasatiempo llevó a la creación de una gran variedad de juegos similares, como son el “sudoku killer”, el “sudoku roku”, el “super sudoku” o el “sudoku samurai”, de concepto idéntico pero con algunas diferencias y que pueden encontrarse fácilmente en innumerables periódicos, revistas, libros y aplicaciones o páginas web.

Reflexionando sobre el éxito del sudoku, muchos opinan que es debido a su gran accesibilidad: no requiere conocer ningún idioma ni poseer grandes habilidades matemáticas, ya que su dificultad abarca un amplio abanico de posibilidades desde los juegos más sencillos a los más exigentes. Es apto para cualquiera a quien le apetezca pasar un buen rato.

Los sudokus han sido también recomendados por expertos debido a sus beneficios en la salud mental, ya que se piensa que su realización ayuda a estimular la mente, agilizar el pensamiento y mejorar la memoria.

Personalmente me considero un gran fan del juego, que llevo practicando con asiduidad desde que era un adolescente, precisamente en los años en los que se popularizó, a mediados de los 2000. Desde entonces habré completado cientos de ellos, siendo hasta la fecha un elemento indispensable en mi tiempo libre.

 

Alexandre Grothendiek

Alexander Grothendiek

Alexandre Grothendieck nació en Berlín en 1928, aunque vivió gran parte de su vida en Francia. En 1933 sus padres se mudaron a París huyendo del movimiento nazi y dejándolo a él al cuidado de un cura en Hamburgo. En 1939, Grothendieck se mudó a Francia, donde los tres fueron trasladados a varios campos de internamiento en los tres años siguientes. Su padre fue deportado para finalmente morir en Auschwitz en 1942. Su madre fue traslada a otro campo hasta el final de la guerra, lo que dejó a Grothendieck solo, viviendo como refugiado en un pueblo al sur de Francia, oculto de las persecuciones nazis.

No obstante, en ese mismo pueblo, Le Chambon-sur-Lignon, tuvo tiempo para asistir junto a otros niños refugiados a una escuela de educación secundaria, Collège Cévenol (hoy Le Collège-Lycée Cévenol International), donde se cree empezó a adquirir un interés especial en las matemáticas. 

Después de la guerra, Grothendieck estudió matemáticas en Francia, primero en la Universidad de Montpellier y luego en París. Tras asistir a un seminario impartido por el famoso matemático francés Henri Cartan, éste le recomendó asitir a la Universidad de Nancy, también en Francia, donde elaboró su disertación sobre análisis funcional entre 1950 y 1953 y terminó especializándose en espacios vectoriales topológicos, una de las ramas más importantes en el campo de dicho análisis. 

En 1958, Grothendieck fue contratado en el Instituto de Estudios Científicos Avanzados (IHES en sus siglas en francés), donde influenció en futuras personalidades matemáticas y realizó numerosos avances en campos como la geometría algebraica, la teoría de los números, la topología, la teoría de categorías y el análisis complejo. En esta época introdujo además la teoría de esquemas, proporcionando una base más flexible a la geometría algebraica que fue inmediatamente incorporada.  

Edificio principal del IHES

En 1970, Grothendiek se trasladó al Centro Nacional para la Investigación Científica (CNRS en sus siglas en francés) hasta 1973, año en que abandonó la investigación activa y pasó a ser profesor en la Universidad de Montpellier.

En 1984 volvió al CNRS, para jubilarse cuatro años después y en 1991 se mudó a Lasserre, un pueblo en el Pirineo francés, donde permaneció hasta su muerte en noviembre de 2014. A lo largo de todos aquellos años, Grothendieck escribió un total de 70.000 páginas no solo sobre matemáticas, sino también sobre otras disciplinas como física, química o astronomía.

Grothendiek fue un apátrida durante gran parte de su vida, ya que Alemania eliminó en 1945 cualquier rastro de su nacionalidad y no decidió pedir la francesa hasta los años setenta, desplazándose en sus viajes con un "Pasaporte Nansen", un documento de identidad dirigido a los refugiados de conflictos bélicos en el S.XX a partir de la Primera Guerra Mundial.

A lo largo de su vida, Grothendieck reflexionó mucho sobre las consecuencias de la investigación científica, que pensaba estaba destruyendo el mundo y en particular el medio ambiente. Su trabajo ha tenido muchas repercusiones en la conformación del mundo que conocemos hoy, ya que facilitó la invención de muchas de las tecnologías de comunicación a las que tan acostumbrados estamos en la actualidad, como son el teléfono o Internet.

La Teoría de Ramsey

La Teoría de Ramsey, que recibió el nombre del filósofo y matemático británico Frank Plumpton Ramsey, es una rama científica que estudia, básicamente, las condiciones requeridas para la aparición del orden. En otras palabras, trata de determinar, a partir de la construcción de una estructura matemática y su posterior división en elementos, cuántos de ellos debe contener la misma para garantizar la existencia de una propiedad particular.

La Teoría de Ramsey consta de dos teoremas clave: el Teorema de Van der Waerden’s y el Teorema de Hales-Jewett.

El Teorema de Van der Waerden’s establece que para cualquier par de números enteros positivos “r” y “k” existe un número “N” tal que si los enteros desde 1 hasta “N” son coloreados con “r” diferentes colores, entonces hay al menos “k” enteros en progresión aritmética (secuencia númerica en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante) del mismo color.

El Teorema de Hales-Jewett afirma por su parte que para cualquier par de números enteros positivos “n” y “c”, hay un número “H” tal que si las celdas de un cubo con “H” dimensiones “n”x“n”x“n”...x“n” son coloreadas con “c” colores, debe haber una fila, columna o diagonal de longitud “n” cuya totalidad de celdas sean del mismo color.

Emmy Noether

Emmy Amalie Noether nació en Erlangen (Alemania) en 1882. En 1900 recibió un certificado que la convirtió en profesora de idiomas, pero su interés en las matemáticas la llevó a acudir a las clases que su padre, Max Noether, impartía en la Universidad de Erlangen. No obstante, su condición de mujer le imposibilitó matricularse, por lo que tuvo que asistir como oyente.

En 1908, Noether empezó a trabajar en el Instituto de Matemáticas de Erlangen, donde se doctoró y colaboró con el famoso matemático Ernst Otto Fischer, dando comienzo a su trabajo en álgebra teórica. En 1915, se trasladó al Instituto de Matemáticas de Göttingen, donde supervisó varios doctorados y trabajó en las ecuaciones de la Teoría de la Relatividad General de Einstein y en la demostración de varios teoremas, uno de los cuales pasó a ser conocido como “Teorema de Noether”. Dicho Teorema trataba fundamentalmente la razón por la que existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian en la evolución temporal de un sistema físico.

Tras varios años solicitando un puesto como investigadora y docente titular en la facultad, en 1922 fue nombrada profesora adjunta. A lo largo de la siguiente década, Noether desarrolló varios estudios en el campo del álgebra abstracta sobre temas tan destacados como la teoría de grupo, la teoría de anillos, grupos representativos y la teoría de números.

Entre 1928 y 1929 impartió clases en la Universidad de Moscú y en 1932 participó con una disertación en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Zurich. En el mismo año, le fue concedido el premio “Ackermann-Teubner Memorial Award”.

El ambiente que siguió al ascenso al poder del Partido Nazi forzó a Noether, de familia judía, a emigrar a Estados Unidos, donde fue nombrada profesora invitada en Bryn Mawr College y realizó varias conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Princeton. Murió en 1935 tras una cirugía por complicaciones postoperatorias.

Personalidades tan famosas como Albert Einstein o David Hilbert reconocieron en sus escritos en numerosas ocasiones sus inestimables aportaciones más allá de las propias publicaciones, que ayudaron a iniciar nuevas líneas de investigación en campos separados de su trabajo habitual.

En la actualidad, sus contribuciones a las matemáticas se ven reflejadas en numerosos elementos y conceptos en la disciplina que llevan su nombre, como son los grupos noetherianos, los módulos noetherianos o los espacios topológicos noetherianos.

Katherine Johnson

Katherine Johnson nació en 1918 en White Sulphur Spring (Virginia Occidental, Estados Unidos). Siempre mostró un gran interés por las matemáticas, lo que debido a la segregación racial forzó a sus padres a mudarse a Institute (Virginia) para que su hija pudiera continuar estudiando más allá de la Educación Primaria, que en la época era el límite para miembros de la comunidad afroamericana. Se graduó en el instituto con sólo 14 años y con 18 obtuvo los Grados en Matemáticas y en Francés.

En 1937, Johnson se mudó a Marion (Virginia, Estados Unidos) para trabajar en la enseñanza de matemáticas, música y francés.

En 1953 empezó a trabajar realizando tareas de cálculo en el Centro de Investigaciones Langley (Virginia, Estados Unidos) en el Departamento de Guía y Navegación de la NACA (National Advisory Committee for Aeronautics, predecesora de la National Aeronautics and Space Administration o NASA actual). En concreto, su trabajo consistía en la realización de operaciones y comprobaciones de cálculo demandadas por ingenieros aeronáuticos, pero lejos de contentarse con ello y a pesar de la reticencia de sus superiores, empezó a asistir a las reuniones que se celebraban entre dichos ingenieros para plantear preguntas y discusiones.

En 1959 se casó con el Coronel James Johnson, veterano de la Guerra de Corea.

Poco a poco, Johnson fue ganándose el reconocimiento de sus compañeros de trabajo y la terminaron nombrando encargada de elaborar los cálculos necesarios en el “Proyecto Mercury”, que la NASA desarrolló entre 1961 y 1963. Calculó la trayectoria de la “Mercury Redstone 3”, que en 1961 convertiría a Alan Shepard en el primer estadounidense en viajar al espacio, el segundo del mundo por unas pocas semanas, después del soviético Yuri Gagarin.

En 1962, a pesar de que ya existían ordenadores para realizar los cálculos, Johnson revisó los resultados informáticos sobre el vuelo orbital alrededor de la Tierra de la nave “Friendship 7”, en la que iría John Glenn, a petición de él mismo.

Johnson calculó además la trayectoria del famoso “Apollo 11”, que posibilitó la llegada del ser humano a la Luna en 1969.

En los años siguientes participó en el Programa “Space Shutlle” y en diversos planes relacionados con misiones a Marte. Se jubiló en 1986.

El trabajo de Katherine Johnson ha sido desde hace años ampliamente reconocido. Un ejemplo es la Medalla Presidencial de la Libertad de Estados Unidos, que recibió de Barack Obama en 2015 y que tan solo es uno de los muchos premios que recibió. Además, en su honor nombraron varias instalaciones como Katherine G. Johnson Computational Research Facility in Hampton o Katherine Johnson Independent Verification and Validation Facility, ambos en Virginia.

Su historia fue inmortalizada en la película “Figuras ocultas” (2016), basada en el libro homónimo de Margot Lee Shetterly.

Johnson, que hoy continúa viviendo con su marido en Hampton (Virginia) celebró el pasado 2018 su 100º cumpleaños. En la actualidad, dedica gran parte de su tiempo a motivar a la juventud, especialmente a las mujeres, a estudiar ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM en sus siglas en inglés) y a luchar contra toda discriminación, racial o de género para alcanzar sus metas.

¿Existen universos paralelos?

En el mundo de la cosmología hay quienes consideran la posibilidad de que nuestro universo sea uno entre infinitos: el denominado “multiverso”, que básicamente nos lleva a preguntarnos: ¿En algún otro universo se desarrolla una actividad idéntica a la del nuestro?

La existencia de multiversos se vería apoyada por el principio antrópico aplicado a “la paradoja cosmológica del ajuste fino”, que establece que algunos parámetros físicos parecen muy ajustados para favorecer un universo en el que haya vida, cuya aparición se ve como muy improbable y se “solucionaría” aceptando la posibilidad de que existan múltiples universos con muchas configuraciones distintas de los que sólo un pequeño porcentaje desarrollará las circunstancias necesarias para albergarla.

El cosmólogo sueco Max Tegmark propuso una clasificación con las distintas versiones posibles de multiversos en cuatro clases jerarquizadas, englobando una clase dentro de otra más amplia y así sucesivamente:

*Tipo I. Esta clase de multiverso se considera espacialmente infinito y compuesto por “universos-isla” que han evolucionado de forma separada en un tiempo finito. Teóricamente, por pura probabilidad otros de estos “universos-isla” o “mundos”, más o menos lejanos habrían evolucionado hasta repetir el nuestro en su estado actual, siempre y cuando sus leyes y valores permitieran la aparición de vida. Dos o más hipotéticos universos podrían llegar a ser idénticos hasta en el más mínimo detalle, aunque más adelante acabaran diferenciándose. Las leyes de la física no variarían entre ellos, aunque se encontrarían aislados unos de otros, en principio sin posibilidad de conexión.

*Tipo II. En estos multiversos, las leyes sí cambiarían de uno a otro y cada uno sería un conjunto de multiversos tipo I.

*Tipo III. En estos multiversos, denominados de tipo “multiverso cuántico”: se generaría un universo paralelo por cada posible alternativa cuántica en la observación de un sistema físico, en el que se dice que el proceso de medida determina el resultado de la observación, el cual depende únicamente del azar. El famoso experimento de “El gato de Schrödinger” podría servir para ilustrar estas condiciones.

*Tipo IV. En este caso se incluirían multiversos originados a partir de la pura abstracción matemática, hablando sobre universos desarrollados siguiendo cualquier estructura matemática imaginable.

Ciertas hipótesis apoyan la existencia de universos paralelos, como la que propone que ciertos agujeros negros podrían estar conectados a una “salida” (“agujero blanco”) a otro universo o la que establece que nuestro universo podría estar experimentando una influencia gravitacional de otro universo paralelo. Hay quienes incluso estudian la posible existencia de “túneles” conectando universos entre sí.

Las ecuaciones físicas parecen apuntar a una probable existencia de los multiversos tipo I, II y III. Pero esto no es suficiente para que los físicos puedan confirmar nada al respecto de forma definitiva, aunque lo que sí podemos concluir es que, a día de hoy, la existencia de universos paralelos o multiversos es compatible con los conocimientos de los que disponemos.

Si alguien se encuentra especialmente interesado en el tema, recomiendo el libro “Universos paralelos”, Número 6 de la colección “Un paseo por el Cosmos”, distribuida por RBA, de National Geographic.

El número áureo

El número áureo se enmarca en el conjunto de los números irracionales: aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros (0, los números naturales y sus opuestos). Se obtiene calculando la raíz cuadrada de 5, sumando 1 al resultado y dividiendo lo que nos dé por 2.

Se trata de un número con infinitos decimales no periódicos, el cual tiene la propiedad de que sumándole 1 o elevándolo al cuadrado obtenemos el mismo resultado, lo que nos da dos posibilidades: “-0,61803” y “1,61803”, siendo la segunda la elegida.

Se cree que el número áureo recibió ese nombre de Leonardo da Vinci. El matemático estadounidense Mark Barr lo asoció más tarde a la letra griega phi (φ), haciendo referencia al escultor griego Fidias, que se sirvió del número en el desarrollo de sus obras y hoy en día se representa con ella.

El matemático griego Euclides fue el primero en detectarlo, estableciendo su obtención por medio de la igualdad: “(a+b)/a”=”(a/b)”. Eligiendo para “a” cualquier número, sacando la “b” y sustituyendo ambos valores en la expresión inicial, obtenemos a ambos lados precisamente el número áureo.

También podemos aproximarnos al número aúreo por medio de los conocidos como “números de Fibonnacci” (una serie de números, cada uno de los cuales resulta de la suma de los dos anteriores, empezando por 1). Tomando cualquiera de estos números y dividiéndolo por el que se encuentra en el puesto justamente anterior se obtiene el número áureo, y repitiendo este proceso con números más altos iríamos obteniendo más y más decimales con cada operación, “aproximándonos” más a él.

Esto podría quedarse en una mera curiosidad matemática, pero la cosa cambia cuando nos damos cuenta de que dicho número se encuentra “presente” en la naturaleza en multitud de formas, lo que le ha otorgado el nombre de “el número de la belleza”: la distribución de las hojas de las plantas (que están situadas siguiendo un patrón que les permite a todas acceder a la mayor cantidad de luz posible), las flores, los huracanes o las galaxias… entre infinidad de otros ejemplos, concediendo siempre a todos ellos un valor estético positivo.

El número áureo también se refleja en construcciones humanas como las Pirámides o el Partenón y en obras como “el Hombre de Vitruvio”, de Leonardo da Vinci (considerado un ideal de belleza) o “El David”, de Miguel Ángel. En estas obras, el número se detecta estudiando la posición del ombligo con respecto a la altura y a las articulaciones de los dedos, de forma que dividiendo la altura por la distancia desde el ombligo a dichas articulaciones se obtiene el valor asociado a él.

El número áureo puede detectarse además en productos comercializados y en general, en muchas cosas que aunque puede que no seamos del todo conscientes por qué, nos resultan bonitas o llamativas.

Edmée Chandon

Edmée Chandon nació en 1885 en París, donde se licenció en Matemáticas y Física en 1906. En 1908 se incorporó al Observatorio de París como estudiante en prácticas.

Tuvo un breve matrimonio con Jacques Jean Trousset, que había trabajo con ella, entre 1910 y 1911. En 1912 consiguió un puesto como ayudante en el Observatorio, convirtiéndose en la primera astrónoma profesional francesa, lo que el periódico “l’Aurore” proclamó como una victoria feminista en su publicación del 9 de marzo del mismo año.

En 1916 mejoró la determinación de la latitud del Observatorio de París a partir de observaciones de estrellas con un astrolabio. En 1919, la Sociedad Matemática de Francia la admitió como socia y poco después pasó a ser la primera francesa en ser admitida en la Unión Astronómica Internacional, fundada ese mismo año.

En 1930 se convirtió en la primera mujer en obtener un doctorado en matemáticas en Francia, con su tesis “Investigación sobre las mareas del Mar Rojo y el Golfo de Suez”, en la que reflexionaba sobre las mareas del Mar Rojo como ejemplos de onda estacionaria (aquellas en las que ciertos puntos de la onda, los nodos, permanecen inmóviles). Para ello, se sirvió de técnicas astronómicas y geodésicas (relacionadas con la geología, estudian la forma y las dimensiones de la Tierra).

El astrónomo Ernest Esclangon la propuso para un puesto de astrónoma titular en el Observatorio de París, pero no lo consiguió al proponer la Academia de Ciencias de Francia otros candidatos que cubrieron las dos vacantes disponibles.

Se jubiló en 1941 y falleció tres años más tarde.

El asteroide (1341) Edmée, descubierto en 1935 por Eugène Delporte, recibió el nombre en su honor.

Ada Lovelace

Ada Lovelace fue una matemática, informática y escritora británica nacida en Londres en 1815 como Augusta Ada Byron. Hija del poeta George Gordon Byron y de Anne Isabella Noel Byron, fue criada por su madre y recibió desde pequeña una educación científica durante la que mostró una gran pasión por las matemáticas.

En 1833 empezó a asistir a eventos organizados por la alta sociedad londinense, en uno de los cuales conoció al matemático británico Charles Babbage.

Lovelace y Babbage se hicieron amigos y ella, inspirada por el telar de seda de Joseph Marie Jacquard (un telar mecánico inventado a principios del S.XIX) concibió la idea de diseñar un telar de Jacquard aplicado a los números: un ordenador.

En 1835 se casó con el aristócrata William King, conde de Lovelace, con quien tuvo tres hijos. En 1841 redactó su propio estudio sobre la máquina analítica (inventada por Babbage y capaz de hacer cálculos sin ayuda humana, de forma autónoma) y lo hizo a partir de un artículo de Luigi Federico Menabrea, matemático italiano, sobre dicha máquina. Lovelace reflexionó sobre las aplicaciones prácticas de la máquina, que dedujo podría utilizarse en todo proceso de tratamiento de datos.

A partir de estas reflexiones, en 1843 publicó el primer algoritmo informático, que describía las operaciones a implementar en la máquina analítica. Aunque no se pudo ejecutar ya que la máquina no llegó a construirse, este logro la convirtió en la primera programadora de la historia.

Lovelace se preocupó de aclarar la principal diferencia entre la máquina analítica y una máquina de cálculo: su capacidad de ser programada para resolver problemas de cualquier complejidad.

Murió en 1852 y aunque el reconocimiento no llegó hasta mucho más tarde, hoy en día su legado se encuentra muy presente.

Pruebas de ello son el lenguaje de programación utilizado en aeronáutica y gestión del tráfico aéreo, llamado “Ada” en su honor y la celebración cada segundo martes de octubre desde 2009 del día de Ada Lovelace, con el fin de promover el papel de las mujeres en los campos de la ciencia y la ingeniería.

En España, la Universidad Autónoma de Madrid y la Universidad de Zaragoza cuentan con edificios que llevan su nombre.

Los problemas del milenio

Imagina un acertijo matemático tan complejo que se concedieran un millón de doláres a quien lo resolviera.

El Instituto Clay de Matemáticas en Cambridge (Massachusetts, Estados Unidos) ofreció en el año 2000 esta gran suma a aquella persona que pudiera resolver alguno de los siete problemas matemáticos propuestos: los llamados "Problemas del milenio". Tan complejos que hasta entonces nadie había podido solucionarlos.

1-. P frente a NP. Planteado por el científico de la computación Stephen Cook en 1971.

2-. La conjetura de Hodge. Propuesta por el matemático William Vallance Douglas Hodge en los años treinta.

3-. La conjetura de Poincaré. Presentada por Henri Poincaré en 1904. Hasta hoy, el único oficialmente resuelto: el matemático Grigori Perelman encontró la solución en 2006, aunque rechazó cobrar el premio.

4-. La hipótesis de Riemann. Introducida por el matemático Bernhard Riemann en 1859. En 2018, el británico Michael Atiyah afirmó que la había solucionado. Pero antes de ser reconocida, su solución deberá cumplir con los requisitos establecidos por el Instituto Clay: tendría que publicarse en una revista científica de prestigio y dos años después, si el planteamiento fuera aceptado por la comunidad matemática, contar con la aprobación de dos comités de expertos del Instituto.

5-. Yang-Mills y el salto de masa. Iniciado en 1954 por los físicos Chen Ning Yang y Robert Mills.

6-. Las ecuaciones de Navier-Stokes. Originado en las ecuaciones escritas en el S.XIX por Claude-Louis Navier (físico e ingeniero) y George Gabriel Stokes (físico y matemático).

7-. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Planteada por los matemáticos Bryan John Birch y Peter Swinnerton-Dyer a principios de los años sesenta.

En el nombre de cada uno de los problemas tenéis un enlace a una explicación en la página web del Instituto Clay. Aunque se encuentran en inglés, estas explicaciones son claras y amenas.